Váradi József

EGY

IRRACIONÁLIS SZÁMMAL

JELLEMZETT TÁVOLSÁG

MEGSZERKESZTÉSE

Mikes Kelemen

Elméleti Líceum

Sepsiszentgyörgy

1993

Egy elhanyagolt gyakorlati alkalmazásról:

A matematika történelme során számtalan kihívás közelébe került. A matematikusok mindenkori törekvései között szerepelt a környező világ tükrözésére és gondjainak megoldására való hasznos válaszok keresése. A mindennapi tevékenység szinte állandóan megoldandó helyzetek akadályaiba ütközött. A matematika elsősorban elméleti megalapozásokat keresett, a technikusok pedig eljárásokat kerestek, az elmélet hibátlan és ellentmondás mentes gyakorlatba ültetése végett. Azonnali alkalmazásokra is volt nem ritka példa, mint amilyen sűrűn az elrejtett eredmények is sokasodtak. A tanítók és a mesterek, gyakorlati uton férkőztek neveltjeik elméjébe. Azóta tengerek folytak le a patakokon. A tanároknak nem elméletet, hanem gyakorlati alkalmazásokat és algoritmusokat kellene tanítaniuk. Ettől pedig a patakok a jövőben vissza felé folynak. A tanuló elméleti oktatása egy véges türelmi idő függvénye, amely egyes esetekben igen csak rövid. A gond nem ezek megnyújtásának szándéka vagy erőltetése, hanem reform utján ezek kikerülése lenne az optimális cél. Sajnos, ez az álmok foszló halmazában ölt testet.

A racionális számhalmaz tulajdonságainak rögzítése óta felmerült a gond, vajon a szakaszos és szakaszmentes tizedes tört alakú számok, szakaszhosszként való ábrázolhatósága, nem takar – e valami ellentmondást. A feltételezett akadályok nem bizonyultak erősnek. A véges törtek ábrázolása a hasonló háromszögek tulajdonságai mentén azonnal megoldódtak. Egyik végpontból, egy szabadon választott szakaszon felvesszük az adott aránynak megfelelő hosszúságú szakaszt. A másik végpontban egy háromszöget zárunk be. Az utóbbi oldallal párhuzamost húzunk a megfelelő osztóponton át, ezzel a dolog megoldottnak tekinthető. Csak a Thalész tételére kell emlékeznünk. Ugyanez a gondolatsor vezet megoldásra (huszárvágás), ha a szakaszos törteket visszavezetjük racionális szám alakjára. A számláló az arány egyik tagja, a nevező pedig a másik. Alkalmasan választott oldalhosszúságú háromszöggel bármilyen hosszúságú szakasz megrajzolható. Még akkor is, ha az így nyert oldalt a pontosabb hosszúság nyerése érdekében arányosan meg kell növelnünk vagy csökkentenünk. Az ilyen szakasznak többszöröseit, de részeit is megrajzolhatjuk, ezzel az eljárással.

Az iskolai tanulmányaink során, mikor megtanuljuk az irracionális számokat, azonnal befut a kétkedés: Alkalmas lesz bár egy is ezek közül, valamely távolság jellemzésére? Máris mondhatjuk a választ: Pythagorász tiszteletére elnevezett tétel erről intézkedik, ha olyan egymásra épített háromszög – sort szerkesztünk, melyben az előbbi átfogó átváltozik az egyik befogóra, a másik befogó mindig egységnyi távolság marad, a rövidebb befogóra támaszkodó hegyesszög felől (Arkhimédesz spirálja). Az egység pedig mindig az előre állandónak rögzített, tetszőlegesen megadott körzőnyílás. A kétkedő kérdés fennmarad, egy végtelen számot lehet elég megközelítéssel véges körzőnyílással jellemezni? A gyakorlat sikeresnek mutatkozik. A körzőnyílás nem csal. A vonalzó is teljesíti a hozzá fűzött reményeket. A szerkesztett szakaszon várt aránymutatók, vagy célsorozatok eleme gyanánt működik.

Nos, ilyen szép és gondtalan a matematika.

Azaz mégse. 1976 – ban a véglegesítő vizsgám kolozsvári előkészítésénél találkoztunk az egyetlen eszközös szerkesztés gondolatával. Nem mélyültünk el benne, csak felemlítés síkján maradt. Egy sajátos helyzetnek tekintettük, sőt kételkedtünk benne, hogy az egyenes ténylegesen kitűzésre kerülhet vonalzó nélkül. Nagytiszteletű foglalkozás vezetőnk, Radó Ferenc kedves feladatokat tűzött ki. Sikerült rájönnünk, az eszközök fajtája és száma nem feltételezik az esélyt a helyzet megoldására. 1984 – ben találtam a Matematika tanítása (és nemsokára a Kvantból kiválasztott feladatok között) folyóiratban, olyan feladatot, mely  távolság felmérését kéri, ismert tartóegyenesre, csak körző felhasználásával. Sőt két pont helyzetét, köztük adott távolsággal, de sem tartó egyenes, sem egyenes vonalzó felhasználásával, keressük meg a felezőpont helyét.

A kitűzés hetedik osztályosok számára adott feladatok között jelent meg. Utóbb elismerem, hogy igen sokat gondolkodtam rajta, nem emlékeztem olyan hetedikes feladatra, amely bár félig is emlegette volna a megkívánt szerkesztést és annak lépései betartását. Oktatásunk a szerkesztést időhiány miatt bölcsen mellőzi, ugyanakkor megszűntek a műszaki rajz órák, technológia órákon nem készítenek igényesen rajzolt vázlatokat, szinte észre sem vesszük, hogy tanulóink nagy hányada a feladat megoldásához szükséges tájékozodó (felbecsülő) vázlatrajzot sem tudja elkészíteni.

Feladat: Szerkesszük meg, csak körzővel, adott tartóegyenesre az  mértékű távolságot.

Megoldás: Szerkesztésekben jártas felnőtteknek, technikusoknak feltehetőleg nem nagy dolog, geometriai transzformációkkal még kényelmesen elvégezhető. A tanulók viszont komoly nehézségekkel találkozhatnak.

Legyen a hetedikesek által ismerős témakörben, a szabályos sokszögek elemeinek kifejezése, az oldal hosszára gondolok, a köré írt kör sugarának függvényében. A távolság kitűzése vonalzóval, a meghúzott egyenes két pontja között ismert és értelmezett. A szerkesztés elvégzése érdekében a sugarat vagy annak részét távolságnak adjuk meg. A keresett távolság tehát

alakú, amit függvénynek kezelt relációban fejezünk ki:

Ez utóbbi ismeretében, éppen a legutolsó a jellemző, tehát ebből ajánlott kiindulni:

I.lépés

Legyen , vagyis  ﻉ (A,AB), ami utóbb az A középpontú AB sugarú kör jelölése;

II.lépés

ﻉ (A,AB); ; ﻉ (E,EA) ;

III.lépés

ﻉ (E,EA); ; ﻉ (E,EA)= ﻉ (E,R),  ;

IV.lépés

, ﻉ (H,AH) ; ;

V.lépés

Nem okoz gondot egyetlen mozdulatunk, ha elfogadottnak tekintjük a körvonal sugárnyi távolsággal hatfelé tagolását. Ellenkező esetben ezek bizonyításra szorulnak, átmérősen ellentett pontok – pólusok a körökön, amelyeket megszerkesztettünk.

VI.lépés

Most pedig az adott XY tartóegyenesen felmásoljuk a megszerkesztett távolságokat (melyeket első pillanattól kezdve sugárfüggőnek fogtunk fel):

, melyben az R szabadon választott egység, amit fennebb már emlegettünk. A nevezett szakaszok könnyen körzőnyílásba vehetők.

Ezzel a feladat felkérését teljesítettük.

A következő feladatok, a példához hasonló lépéseket kérnek, a gyökmennyiséggel jellemzett szakaszok egymás után való összemásolására:

; ; .

Érdekesség, hogy a következő feladat komoly elbírálásra vár:

.

A feladat tovább fejlesztése is megtörtént, a körzővel kijelölt szakaszok egymás után mérhetők egy virtuális körátmérőre. 

A szerkesztés kivitelezésére használt lépések hetedik osztályban a bizonyítások során előfordulnak. Az eljárást más axiómatikus szerkezetelemekkel meg lehet oldani, noha ez nem általános iskolai tananyag. Középiskolában tanító kollegáink szokása, hogy az általános iskolai tananyagot meghaladó gondolatmenetet vetik be, holott ezek megjegyzése a tanulók többségénél csak mechanikus és hamar a feledés martalékává lesz. Hallom a sopánkodó panaszt, én tanítottam, s azt is elfelejtette. Mert nem tanulnak. Vagy a tanult tudásuknál nehezebb feladatot kapnak. Hátha ezt még olimpiász felkészítőn kapják, egyből kiderül, ki javasolta azt a nehéz feladatot.

Örülök, ha sikerült érdeklődést ébreszteni, igen szép feladat típusnak tartom.

Váradi József, tanár

Mikes Kelemen Elméleti Líceum,

Sepsiszentgyörgy

(1991 – 1992)

Megjegyzés:

A Matematikai lapok nem ígérte meg a fenti jegyzet közlését, a kéziratot válaszul, egyszerűen a kolozsvári Egyetemi Könyvtárnak ajándékoztam. Ugyanebben az időben foglalkoztam egy relációs osztályra bontással a matematikailag értelmezett kémiai hálón. Miután dr.Virág Imre tanár uram megtekintette, a kémikusok véleményének bevárásáig, abból is letettem egyet ugyanoda. Remélem, mindkettő később közleménnyé növi ki magát.