Kaland a gyakorló megismerés útján

(Parkettázs, avagy az önként vállalt feladatunk)

*1.

Hála Istennek, olyan családban érkeztem ebbe a világba, ahol zsenge korom óta, tág lehetőségeim nyíltak a vályog, a kő, a cserép, a fa és a papír alapanyagok használatára vagy kötésére, és viszonyaikról fejtegetéseket bátran és részvevőn, lehetett szólni s meghallgatni. Hasonló gondolatú körből és szenvedélyes érdeklődéssel megáldott gyermekekkel volt alkalmam felnőni. Anyai nagyapám a kőborítást a Kultúrpalota alagsorának márványos feljavításán tanulta, a Kós – féle építmények kő – agyag ügyekben viselt dolgainak, újítás, javítás, sok helyen tanácsadója vagy éppen irányítója volt. A Felső – Maros völgyi vasúti hidak és alagutak karbantartásánál igénybe vették tapasztalatát, a bukaresti Szikra Palotaháza több emeletnyi földalatti építményeinek teljes bekezdő ácsolatát két bővített csíki brigádjával vitte véghez. A kőművességben is jelen maradt. Ötvenhat után aztán nem pünkösdölt többet, de a földjeiről is bölcsen hallgatnia kellett. Pedig állami kitüntetése is volt nem egy, persze bevárható nyugdíj nélkül, hálátlan támogatással. Öntörvényű vállalkozóként kizsákmányolónak mondták, szépen kiforgatták valójából. Az udvaron levő műhelyben folytatta az ő nagyapja néhai műhelyének titkos csodáit (úgymint az önjáró szekér egyik fejlesztése, hátha valamelyik múzeum rákapna). Édesapám teljes kivitelező építőmesterré avanzsált. A bukaresti vezetésű építőtelepekre szívesen ráunt. Több rendben zsindely vagy kerámiafedett épületre szerződött. Néha régebbiek felújítását is vállalta, ha megfelelő alkotóelemeket talált hozzá, esetleg értő emberrel készíttették el. Belső felújításokat is vállalt. Egy fejlesztés alatt álló javítóműhely karbantartói között leste a mindenkori nagy kreáció engedelmét. A két ősépítő, jeles létszámú támogatással, 1950 és 1966 között négyszer építette át a Kerektó kettőben levő lakásunk, hogy tágasabb és kényelmesebb legyen a növekvő létszámra való tekintettel. Nekem is az építész szakmát bólintották, ezért nyugodtan forgolódhattam a lábuk alatt. Olyan fa – fém játékaim voltak, hogy az máig csoda. A műhely padlására kerültek azok, amelyek az öcsikéim javára maradtak, de voltak bőven olyanok, amelyeket parancsra vagy ajánlatra valakinek ajándékba kellett adnom. Volt, amelyiknek az előállításában ugyan szerény szerepem volt, ezeket természetesen jobban szerettem. Nem csoda, hogy több sikeres gombfocicsapatom volt – pályástól, hulladékból sakkfiguráim – táblástól. Azt hiszem senkinek nem volt annyi üveggolyója, mint nekem. Csere – bere útján kerültek hozzám. Gombfoci csapatért, vagy különös sakkfigurákért. Volt asztali méretű kisautóm, építőkockám, de akkora teherautóm is, aminek a rakterébe beleülhettem. Kézi meghajtású, gumikerekes fa triciklit gyártottak nekem. Volt a zsidó boltjában való bevásárlást támogató kicsi szekerem is. Mikor én húztam az árut vele, mikor egymást huzigáltuk a barátokkal, vagy az erősebb kutyákkal. Kézzel varrt hámja volt a húzónak, s gyeplője, hogy vezethető legyen (1.0. ábra: Játékaim emléke). Az alkotó tervezés és kivitelezés múltjának szellemi fenntartóit, nagyapám halála és az 1970 – es Maros - árvíz tette végső próbára, beletörődve az építő istenkedés elleni lázadás leverésébe, többet nem ragaszkodtunk az építéshez.

2.

„ Nem tudom, hogy az alábbi jegyzet, kinek, ha valaki hozzáértő embernek elébe kerül. Jóslat szerint, ma még nem divatos kérdésekben, akartunk lényegbe vágó, határozott észrevételeinket és meglátásainkat közölni a világgal. A világ erről természetesen nem is tudott, nem számított követelőző tolakodásunkra, s igényét egyes tanáraink vállvonogató bizonytalanságán nem bírhatjuk, vagy nem tudhatjuk bizonyosan felmérni. Zavaró volt az is, hogy bármit közölni csak egyetlen nyelven lehet, amit mi együtt annyira birtoklunk, amennyire egyetlen együnknek illenék. Nekivágunk mégis, gondoljuk, egyetlen dolgot nem fecseghetünk el, hogy mindenre teljes mértékben rádöbbentünk volna.”(Elkésett ajánlás) Zätty arról bölcselkedett, hogy a tanáraink egyáltalán nem szűkön látók, hanem csak megtiltották nekik az esetlegesen kiszélesedő látókörök támogatását. Ugyanakkor, aminek nem látják a végső kifejletét, azt ne ápolják, minek áldoznának rá több figyelmet? Akkor nem tudtuk még, mekkora éleslátás birtokában dagonyázott. Arra viszont hálával gondolhatunk, hogy Madärrel együtt három szép zongora – gitár – sípszó zeneművet állítottak emlékként a nagy kísérletnek. Szimfónikus költemény ígérete is létezett. Miután többen tapsikoltunk az ötletnek, kerültek, akik untatták a heveskedést, nem annyira érdemes ez a próbálkozás, hogy dicshimnuszt írjanak címére. Pedig énekelni nem szégyen, sem oroszul, sem németül, sem franciául, sem románul. Hát Örömódára emlékeztető művet csakis magyarul. Angolra senki nem gondolhatott volna, mert azt errefelé nem tanították.

A tanárnak az a feladata, hogy ráirányítsa a figyelmet valami fontos dologra, aztán marakodni hagyja a gyermekeket a koncon. Az ellenőrzés pedig arra való, nehogy valami fegyvert vagy bombát találjanak fel. Patylla arról tudott, hogy űrrakéta motorját feltalálni éppen ajánlott, tehát támogatott. Iskolám rajzos szakcsoportjának ellenőrcsoportja a Kultúrpalotában talált otthonra. Ott dolgoztak a nyolcas és kilences iskola jövőbeli festői és szobrászai, vagyis mi. Soson csávó és Syto Miko voltak a jelesebb ígéretek. Volt időnk tapasztalatainkat mind, a kétszer 20 társunkkal megosztani. Kit érdekelt, kit nem. Játszani és tanulni is volt időnk, pedig nagyon hosszú pionírfoglalkozásaink voltak, a sok ünnepély próbái mérhetetlen időbe teltek.

3.

A parkettázs, igényes nehézsége miatt, felénk nem divatos tudomány. A parkettázsról, azt hiszem, Kerestély Dénes, mindig mosolyra kész számtan tanáromtól, én hallottam először. Úgy fogalmazott, hogy a parkettázs, olyan síkfedés, mely egymásba illeszkedő két vagy több alakú, vagy színű, egymással egybevágó lemezekkel jön létre. Legegyszerűbb a négyzetes síkfedés. Kivételesen megengedhető, hogy adott területet csakis különböző alakú – színű elemekkel szükségeltessék lefedni. A darabok számát akkor korlátozzák, ha a mozaikszerű részleteknek valamely célzatosságot tulajdonítanak. Az első parkettázs nálunk, fehér és fekete (mikor 3, máskor 5cm oldalhosszúságú) ugyanakkora négyzetlapokkal esett. Ha fehérrel, vagy feketével kezdtük, mint a sakktábla, és annak a tükrözése nézett szembe velünk. Minden rajzórán ezzel gyötörtem magam. Kell továbblépésnek lennie. Hamarosan lényegi kérdésekkel találkoztam. A gyakorlólapjaim, vezető tanárunk első nap észrevette, aztán fokozatosan számon kérte az újabb lépéseket. Petelei István sakkozó rajztanár elvtárs, mert így hívták, soha nem szólt bele, legfennebb valamire csak úgy rámutatott. A sakktábla lefedése volt az első kihívás, ezt huszárral sikeresen megtettük. A többi figurát is hamarosan kimerítettük. Ezzel a sakktábla kutatása befejeződött. Kiderült, hogy a parkettáknak legalább két négyzetének kell lennie. Hanem a négyelemessel sem válik teljessé. Aztán a fedőlapok milyenségét kellett alapos szűrésnek alávetni. Beindult a három, négy vagy több négyzetlapból álló alak vallatása, mindig egy nagyobb, csakis négyzetes keretben.

Syto Miko több esetben elvitte az addig elkészült tervem, s az ők iskolai faliújságukra kibiggyesztette. Hamarosan több követőnk jelentkezett. Számtan tanárunk felkészítőt és értelmező gyűlést hirdetett. Soson csávó a háromszínű lapokkal való próbát szorgalmazta, szép dolgok kerekedtek ki, mert a színes lapokon kívül tudtunk változatokat keresni, mintás lapokkal is dolgozhattunk. Magam részéről a négyféle színű lemezt pártoltam, gondoltam, hogy több változat is előállítható. Ezen a vonalon Bordi András elegáns és Incze János tüskés, de szigorú mentoraink is észrevették fáradozásunkat. Ők azonban, csak díszítő motívumként kezelték volna. A nagy szórás lehetőség miatt, szorítások bevezetését szorgalmazták. Ez nem járt osztatlan sikerrel körünkben. Syto Miko, az ötödik négyzetlapos fedés bevetését sürgette, szerinte ez teljesen megváltoztatja nézetünket. Ácspetty úgy képzelte, lebecsüljük, mikor hatos-lapokat emlegetett. Megbékéltettük. Patylla volt a lánglelkű. A hatoldalúra buzdított, kockázott, nem restelve a kocka kiterítésének emlegetését se. Ez aztán egy elég népszerű játszadozást eredményezett. A hat egymás mellé helyezett négyzettel aztán egy nagyobb négyzetet vagy téglalapot kellett lefedned. Feketty szokása szerint többet morgolódott, s fennen hirdette, hogy neki semmi kedve sincs az elcsépelt sakktábla fogságában áporodni. Vigasztaltuk, hogy mi is túl szeretnénk kerekedni a sakktáblán. Nagyobb felületben kell gondolkoznunk. Egymás bosszantására, a téglalap alakú vagy a négyzetes kereteknek paralelogrammává vagy rombusszá vedlését is felpártoltuk. Hamar rájöttünk, hogy a ferdített keretek nem az akadályozást, hanem éppen a professzionálisan teljes lefedés előhívását szorgalmazták. Ez a dolog a választott négyzetek apróbbra darabolását is előidézte. Számtantanárunk bólintása is befutott, ez a profi területmérés elve, amit most magunktól megtaláltunk, minden vezérlő hatás és serkentés nélkül.

Összefoglaló: 1. Adott négyzetlapok lefedése kisebb négyzetekkel, 2. Sakktábla lefedés kettő és annál több négyzetnyi lemezzel (2.1. ábra, 2.2. ábra, 2.3. ábra,), 3. Sakktábla lefedés huszárral (3. ábra) és egyéb figurákkal, 4. Síksokszögek négyzetekkel való borítása, 5. A borítólemezek alaki hasonlóság szerinti osztályozása (4. ábra), 6. Több négyzetből álló borítók származtatása (4.1. ábra, 4.2. ábra), 7. A szükséges legkevesebb lemezegység meghatározása (5. ábra, 6. ábra, 7. ábra), adott parkettán, 8. Ismétlődő, tükrözött, kizárt és bővítmény elemek engedelme.

4.

Soson csávó egy határozottan megjelölt napon kihirdette a kötelezőnek számító egyenlő oldalú háromszögekkel való lefedést. Akármennyi izzadság patakzott ebben a témában, a sakktábláknál szellemesebb megoldások nem születtek. Hajlok azt mondani, hogy a két háromszög lapocska ugyanazt a lefedést eredményezi, mint egy négyzet. Sőt, talán szegényebb látványú némely vonatkozásban (8. ábra, 9. ábra, 10. ábra,). Paralelogrammákhoz, illetve rombuszokhoz vezettek, a derékszögű sarkok megnyeréséhez, fedéséhez, megint megjelentek a darabolások. Ezt mindenki kellemetlen dolognak tartotta. Úgy tűnt, hogy erre a keresés itt megfeneklik.

Ácspetty szabályos hatszöget hívott elő, s azonnal kiderült, hogy a kétszínű lapocskákkal ugyanolyan felület alakul ki, mint a sakktábláknál. Zätty és én azonnal hat háromszöget vettünk észre a hatszögben. Kifogásoltuk, a korábbi darabolási nehézség újból megjelenése miatt. Patylla megnyugtatott, meglássátok, ez a négyzetre is fog emlékeztetni. Itt jelent meg az első és utolsó vitánk. Ácspettyék a hatvan fokos egyenlő oldalú háromszögeket tekintették elemnek, én a negyvenöt fokos egyenlőszárú háromszögeket hívtam elő. Nincs benne semmi varázs. Két útra tértünk a válasz keresésével. Sokkal szebbek a háromszínű lefedések, de a négyszínűek még pazarabbak. Ezekkel Soson csávó és Patylla jeleskedtek. Jómagam sokat vívódtam két ismétlődő és két nem ismétlődő színkombinálásával. Syto Miko az összes másolatát eltette, szerintem nagyon érdekelte. Zättynak is került néhány szép ötlete, néha valamelyik korábbit szebben színezte. (11. ábra, 12. ábra, 13.1. ábra) Soson csávónak volt egy találmánya, a szabályos hatszög oldalaival párhuzamost futtatott belül, s lett egy szabályos hatszög, egyenlőszárú trapézokkal övezve. Nagyon jól nézett ki a rajzlapon. Úgy tudom, hogy Syto Miko, mikor nagy lett s már tervezett, egy csarnoktervében ezt a padlómintát használta is Szatmárnémetiben. (13.2. ábra)

Egy hajszálba kapaszkodó törvény előrángatása: Tetszőleges síksokszög alakú felület véges számú lemezekkel lefedhető, akkor és csak akkor, ha a fedőlemez bár két egymásra merőleges szimmetria tengellyel rendelkezik. (Ilyen egy négyzet, vagy az átlós szimmetriatengelyű négyzet, a szabályos hatszög, stb., de nem ilyen a szabályos háromszög, paralelogramma, ötszög, stb.). Íme, került idejekorán egy törvény, amit meg is fogalmaztunk. Nem csalódtunk. (14. ábra)

Jutalmul mosolyt és bólintást arattunk. Felolvastak bennünket a hetedikes és a nyolcadikos évzárón. (1976 - 1977) / ( – dijó – ) *

**5.A kaland még nem zárult le:

Ez az előélet, s az egy húron pendülés ígérete döntően befolyásolta az elhatározásunkat. Egyöntetűen a Bolyai Farkas Középiskolába jelentkeztünk. Matematikából simán jutottunk be. Még dúlt a lapocskák dühe, amikor a négyszínűeknél elkezdtem a fél négyzeteket (tengelyeseket), kocka alkotóelemeknek látni. (15. ábra) Mit üzen neked ez a számsor: 1,8,27,64,125,216,343,…? Patylla és Feketty jöttek az első megoldásokkal. Az elemi kockák számát jelenti, egy nagyobb kockában. Ezen kockák kirakása csakis elemi kockák fűzéréből állhat, melyek alakfűzére nem ismétlődhet egy terítés alkalmával (15. ábra). Visszatértünk a sakktábláinkhoz. Ismétlődés nélkül, különböző elemekből le kell fedni a négyzetszámú lapú sakktáblára. Ebben a kísérletben rögzítettük a lehetséges négyzet füzérek alakját, a 12 egységoldalú négyzetig merészkedtünk. A kísérletezéseknek végül 1969 telén fejeztük be, anélkül, hogy valamilyen végkövetkeztetést állítottunk volna elő. Érettségi idején, két reálos tanárunk sajnálkozott azon, hogy voltak jó meglátású okos gyerekek, akik a humánon fecsérelték alkotó energiájukat. Meglepetéssel vették számba a humán tagozatos bedolgozóinkat, és jeles hümmögéssel jutalmazták. Fekettyvel 1970 nyarán megoldottuk azt a feladatot, hogy a fenti számsor által megadott kockákat befestjük egy színnel, ezután a kockákat annyi elemi kockára vágjuk, mint azt saját jelszáma mutatja. Milyen számokat találunk a festetlen oldalak megszámolásakor. A táblázatok tanulmányozásakor nagyon érdekes eredményeket találtunk. Az egységkocka egyszínű. A kétszintes kocka összesen nyolc eleme ugyanúgy viselkedik: három lapja egyik, másik három lapja másik színű. A három emeletes kocka, újabban életre kelt Rubik kockája néven lett híresé. Ennek a kiskocka tagjai egy eléggé fineszes tengelyrendszer körül, felületi színűket megtartó forgatásra voltak kényszeríthetők. Másik érdekessége, hogy a 27 elemi kocka színezése, kívülről befelé haladva: három lapja festett 8 kockának, mint a kétemeletes esetben (és ez a továbbiakban állandó marad), két lapja festett 12 kockának, egy lapja festett 6 kockának, s egyetlen lapja sem festett a legbelső, középső kockának. A páratlan oldalú kockáknak van festetlen közepük. Ezen a nyáron, a négyszintes kockáról, mint a kémiai elemek főcsoportjainak rendszeréről gondolkodtam. Később tanulmányt fogalmaztam meg erről. Matematikai háló jelenlétét sugallja, nyolc kétszintes kocka együttesre szeletelhető. Figyelemre méltó.

Ugyancsak 1971 – ben Jamie Kruger (korábban kissé tartózkodóbb bandatag) azzal jött, haza az egyetemről, hogy a huszonhét elemi kockánk zseniális, kutassuk ki, négy elemi kockából álló alkotószerkezetekből hány komponenst kell bevetnünk. Azonnal kiderült, hogy egyik szerkezet negyedik elemének össze kell olvadnia egy másik szerkezet negyedik elemével, ahogy ezek ketten mégis egyet jelentenek. (28:4=7) Kiderült, hogy hat ilyen kockanégyes van, a hetedik egy háromelemes könyöktag. Ebből, akár többféleképp elhelyezett tagokból létrejön az egyre híresé váló, de egyikünk nevét sem viselő kocka. Sejtésem szerint ezekből az elemekből a szóban forgó nagy eredménykocka 256 féleképpen rakható össze. A mellékelt 17. ábrán, az egyik ilyen összeállítás elő és hátnézete látható (16. ábra, 17.1. ábra, 17.2. ábra). Minden összeállítás a kezdő fűzérpár kiválasztásától függ.

6.

Végszó: A fenti előzmények értelmességét 1983 – ban mértem fel valójában. Mértanból készültem tanári első fokozatú dolgozatot írni, nem véletlen találtam rá John Horton Conway közlésére. Nálunk sokkal nagyobb fejeket is érdekelt az előbbiekben említett kérdéscsomag. Ugyancsak ebben az évben találtam rá Harold Scott MacDonald Coxeter Introduction to Geometry (Bevezetés a geometriába) című művére, nagy figyelmemre volt szükségem. A jobb értés érdekében, kénytelen voltam a magyar nyelvű fordítást (1973), az összes forrásokkal együtt megkeresni. Azzal a kőkemény élménnyel maradtam, hogy komoly mértani felfedezések előszobájában kopogtattunk. Semmi tudományos ráirányításban nem részesültünk, csak egy gyakorlati hasznot mutató eszközről jutott eszünkbe kíváncsiskodni. Egy szóval nem állíthatom, hogy bármiben megelőztük volna Piet Hein, vagy akár John Forbes Nash Junior kutatásait, vagy eredményeit. Azt viszont állítom, hogy észrevételeik 75% - ánál valamivel többet, mi is birtokoltunk. Erre mondhatom, büszkék lehetünk, csak az a kár, hogy néhai társaim egyik – másika, ebben a földi életben nem szerez erről tudomást. Pedig nem volt hiába, ha csak a hatelemes négyzetek hálózatait, vagy a négy kockából származtatott építőelemeket emlegetem. Gyakorlati hasznukra a legjelesebb tanuk, az építőiparban foglalkoztatottak. Annyit merek kockáztatni, hogy már volt arra példa, hogy valami után a mi vidékünkön is kutattak, ami után a jobban értesültek is kutattak. Arra is volt példa, hogy valaki értékesítette eredményét, de arra is, aki nem bírta e1adni leleményét. (1985 - 1986) / ( - dijó san - ) **

*** Ezzel a kétrészes írással a következő, múlt századi önkéntes kalandorok merészkedő geometriai felfedező útját idéztem meg: Fekete Tibor (aki Feketty – gondolat átolvasó), Gábosi Tamás (aki Syto Miko - grafikus rajzoló), Kovács Péter (aki Ácspetty - ragasztógyártó), Madaras Levente (aki Madär – zenegép tulajdonos), Papp Attila (aki Patylla - maghéjtalanító), Szávics Károly (aki Soson csávó - festékhígító), Zonda Attila (aki Zätty – billentyűs), és jómagam, Váradi József (aki Dijó san – elszámolások megtartója). (1986) ***