Egy elég komoly játékról

Zászló, Syto, Vívó,

Kadét és a MÜK emlékére

magamtól

Ennek a játéknak az egyik ősét a múlt század hatvanas éveiben fedeztük fel néhány barátommal, és lehetőségeink szerint fejlesztgettük is. Nagydologra és népszerűsítésre nem pályáztunk, mert az axiómatikus és analitikus matematika asztalából senki nem akart felállni, vagy kilépni. Sőt a gyakorlati alkalmazásokat és azok magyarázatát illetően is „a döntőképes elltársak” csak legyintettek. Nem volt idejük prózai dolgok feltételezett lenyelésére se. Azt pedig, hogy a kölykök valamit láttak volna, mégcsak meg se hümmögték. Így a parketázzsal kapcsolatos felfedezéseink, s az általam kiszámolt, Hilbert – féle rendszerrel követett geometria, algebrai módszereket használó úton való bizonyítása sem látott megillető nyomdafestéket. Ez utóbbi aztán sikeres fokozati vizsgámon hiteles dolgozatommá lett és az volt (1986).

Radó Ferenc bácsi, minden geometriai alkazár felett Úr, a fokozatomhoz járuló gratulációkor kért egy általános jellemzést a meghatározott véges területű idomok parkettázó feltételéről, és az általunk elért eredményeket a térbeli alakzatokra is áttekinteni sürgősnek gondolta. Időközben a kért anyagot elküldtem, és felhívta figyelmem egy amatőr tudós, dán költőre, aki erről a dologról nem az első meglepetését hozta nyilvánosságra. Piet Hein, amennyire megláthattam, szintén a lefedés elveit tekintette át és a Borel lefedési elvén is túljutott. A négyzetes és hatszögű sakktábla felosztásainak sajátos tulajdonságait, mi is számba vettük. Ugyanazokat a következtetéseket találtuk, még középiskolás korunkban (MÜK-1968). Elsőként dicséretesnek tartotta, hogy amatőr keresgélésünk nem hiábavaló, inkább előre mutató. Ennek a gyakorlatnak a folytatásaként annak idején, 1970 táján, a kockát 27 egységnyi kockára bontottuk, és azt kutattuk, hogy ezek az apróságok egymás helyettesítőjévé válhatnak-e? Ezt az eredményt Rubik Ernő tárta a világ elé, nem egyszerű eltolásos úton, mint mi, hanem egyszerű körmozgással, közönségesen tengelyes forgatással. Nyilván magasabb rendű, hiszen nekünk a transzformáció végrehajtása érdekében ki kellett lépnünk a kocka határlapján, neki és technikusának a kockában, belül sikerült a lépés. Az egyik társunk azt javasolta, hogy csoportosítsuk az elemi kockákat. A természetes csoportosítás korlátosnak, nyolcnál / oldalanként, többre nem futotta rálátásunk, mint a sakktáblánál / kevesebb, ismétlődő elem számú bontást lehetővé tevő, és a kocka lapjaihoz viszonyítva ismétlődőnek bizonyult (1978). A kocka ilyen felbontása rendelkezik szimmetria középponttal, de nem rendelkezik szimmetria tengellyel vagy szimmetriát származtató lapmetszettel. Ebben az időben, Soson és Zongor segédletével, egy zimankós hétvégen rögzítettünk egy 27 – es alkalmas Piet Heintől különböző elosztást, ezt magvalósítottuk. Még az abbahagyás előtt csak úgy próbából vettünk egy ötelemes kétsoros kockaállást. Ha ezt megkettőztük, fényesen elő lehetett állítani a 64 – es kockát. Ezt az eredményt csak egyszer tettük félre, amikor rájöttünk, hogy nekünk a legelőnyösebb elrendezés, amikor az ötös csoportokat két síkban párosítjuk egy – két kilógó elemével. (Ebben az együttesben 1-2-3-4-5 elemes csoportokba rendezett elemi kockákat ragasztottunk össze, csak a 27, illetve a 64 elemes kocka kirakását szolgálta, tologatni már nem lehetett.) Soson előállt egy olyan csoport előállításával, melyben három párhuzamos szint van öt, hat, majd hét elemmel. Többször kértem, hogy barátom mutassa meg a csoport elrendezését, hogy csapjuk a közpróbálkozás asztalára. A csoport bemutatása azonban soha nem esett meg. A háromszintes nekem megoldhatatlannak tűnt, de nem jogosított fel arra, hogy ne képzeljem el lehetőségét. Az ilyen csoportosítást azonban én soha nem oldottam meg.

Hosszas szünet után, először 2008 – ban, majd 2014 – ben egy feladat megoldása közben találtam utalást arra, hogy a szimmetria feltételhez 64 – nél több (illetve 216 darabnál) nem több elemi kocka jelenléte szükséges. Nyilvánvalóan a 125 elemből álló kockára utal a hivatkozás. A nagykocka negyedeket elválasztó és meghatározó síklapok szimmetria tengelyeket és forgástengelyeket hordoznak, egyben a helyettesítő kockák hovatartozását támogató lapok lehetnek. A sejtéshez számítások és makettek kellettek. Időrabló tevékenység. Nagy későre, igényesen 2014–ben elkészült az első fél makett. Azóta tanulmányoz(tuk)om a bevallott és rejtőző tulajdonságait. Itt az egyik figyelemre méltó származék.   (1979-2015)

 

Három az egyben, logikai és matematikai építőjáték

A dolognak két oldala van:

Egy - nem nyerhetsz, ha nem veszel versenylapot.

Kettő – akkor sem nyerhetsz,

ha nem válaszoltál helyesen legalább

 két kérdésre.

Nyerjél!

Csak.

1., Ez egy mesterkélt játék, szükséges hozzá éppen 35 (a második feladványhoz még 35 ugyanilyen) darab egybevágó elemi kocka.

A mellékelt ábra szerint, az ábra irányítottságát betartva összeragasztgatod (30. ábra):

Majd kiszínezed. Szabad kísérletezni is, miután bár egyszer elkészítetted a mellékelteket. Azért hangsúlyozom, mert gyakorlat nélkül találomra megváltoztatva az egyes darabokat, körülbelül 230 – nál több új eset állhat elő, amitől kezdheted elölről, vagy üreges lesz az építményed.

Feladat: Az általad elkészített 9 apró testek segítségével, építs egy üregek nélküli, derékszögű egyenlőszárú háromszögek által határolt gúlát. (Két alapéle és a magassága 5 elemi kocka élhosszával egyenértékű). Ha jól dolgoztál, akkor eléd tárul az alaplap, ami jelen esetben egyáltalán nem síklap (23. ábra). Kérdés: Ha az elemi kocka oldallapját területegységnek tekintjük, összesen hány területegység van előtted az építmény „alaplapján”? Próbáld ki, legalább kétféleképpen megtalálni a területegységek számát. Hányszor nagyobb ez a mértékszám annál a háromszög alakú síklap területénél, amelyet a gúla oldallapjai vesznek körül (gondolj az elemi kockák olyan csúcsait összekötő élvonalra, melyek az oldallapok felől szabadon vannak)? Az arány értéke figyelmeztet téged arra, hogy ezeket az eredményeket miért becsülted ekkorára?

2., Feladat: Készítsd el a második gúlád elemeit, és azt is színezd ki. Készítsd el a gúlád másolatát, győződj meg, hogy az előbbi építménnyel egyenértékű.

 Ha két oldallapját egybe tolod, az építményed olyan alakú lesz, mint az a Yucatanban levő Tikalbeli főpiramisa homlokzatának kicsiny mása. Kérdés: Ha a rendelkezésedre álló két építményed elemeit rögzítheted, akkor tologatásokkal vagy forgatással, hány tikali főpiramis homlokát tudnád előállítani(, ha az egyszerű helycsere is számít)?

3., Feladat: Az egyik építmény anyagából tudnál egy üregmentes téglatestet kirakni? Sikerült-e olyan hiányos téglatestet kirakni, amelyből három, kettő vagy egyetlen elemi kocka helye maradt üresen? Kérdés: Ha az összes építőelemedet felhasználnád, sikerülne a feladat? Így is nézd meg, a hiányos elemű téglatestek esetszámát! Miért találsz ilyen eredményt?

Megjegyzés: Párban is lehet játszani, attól lehet nem annyira unalmas. Jó szórakozást! 

(1980 - 1982)